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2025.7 广大附中集训游记

news 2025/7/27 7:47:57

经过一阶段校内集训，然后简单过完唯一一天暑假（也是我生日）之后，第二天（$\text{Jul }20\text{th}$）也是被拉去广大附中继续集训坐牢两个星期了。

$\text{Jul }20\text{th}$

早上 $8$ 点到达柳州站，第一件事先去打报销凭证……牛魔的这票的质量怎么这么差？早知道不打了！

车次是~~柳广原神~~ $\text{D}3753$，车型是~~宁局原神~~ $\text{CRH2A}$，本务谁跟谁重联忘了，后面补上，一进车厢就又能闻到那熟悉的~~镜酱的脚臭~~味了……在车上尝逝打音游但一会之后就放弃了。路途不远，$3$ 个半小时就到广州了，下车之后就坐滴滴来了广大附中。

这学校嘛，布局看着挺不错的，也很生态，就是各种地方都在施工，总给人一种半成品的感觉？我去什么条件啊，宿舍楼装电梯？还有球场？ 不愧是牢广，微距了。总之到了宿舍之后一整个下午都尝逝睡觉回蓝，但新环境拼尽全力无法睡着，就这样迷迷糊糊去上晚自习了。其实晚自习上还一直在打之前学的莫队www

$\text{Jul }21\text{st}$

$0721！$~~（喜）~~

牛魔的，昨天晚上一点没睡好，困死我了。第一天讲构造，一个早上也是拼尽全力无法不打瞌睡，只能说 $12$ 道题大概也就听懂一半多点吧，不过也确实有一些能总结的地方。

$1.$ 对于有 UDLR（上下左右）操作的题目，可以考虑将移动旋转 $45°$ 后放大为 $\sqrt 2$ 倍，这样就能转化成 $(1,1),(1,-1),(-1,-1),(-1,1)$ 这样两个方向上都有移动的操作，就能够独立两个维度来考虑了。对于一个维度，只有 $-1$ 或 $+1$ 两种操作。然后我们考虑在坐标中加上时间戳（即每次移动都额外向正方向再移动一步），这样就变成了 $0$ 或 $+2$ 两种操作。最后，再缩小成原来的 $\dfrac{1}{2}$ 倍，就成功转化为了 $0$ 或 $+1$ 两种操作。CF538G Berserk Robot

$2.$ 对于给定图的构造，因为图的性质较少，而树的性质较多，可以考虑提出 $\text{dfs}$ 树或者其他的什么树来分析。P7320 「PMOI-4」可怜的团主用到了树的两个性质：

覆盖一棵树需要 $\ge \left \lceil \dfrac{叶子数}{2} \right \rceil $ 条路径，当且仅当所有路径的端点为叶子时取等（当路径数为奇数时，至多一条路径可以只有一端为叶子）。

一棵树的所有叶子可以构成一个独立集（互相没有边连接）。

$3.$ 对于树的刻画，“无环”优于“连通”。CF611H New Year and Forgotten Tree

$4.$ 给出 $n$ 个点的完全图，可以考虑归纳第 $i$ 到 $n$ 个点与前 $i-1$ 个点的关系。ARC131E Christmas Wreath

$5.$ 两个完美匹配取并，得到若干偶环。CF741C Arpa’s overnight party and Mehrdad’s silent entering

牢广这块物价真的是贵的离谱，广大附中食堂自选快餐 $2.28$ 元$/ 50\text{g}$，我已经收着力打了，却还是直接给我干到 $27.45$ 元了，这都够我在树高吃两三顿了……最离谱的是我看这个学校里面的人打的饭菜也跟我差不多量，合着广爷搁学校里都顿顿 $30$ 块，那出了学校不得贵死啊？

下午和晚上拼尽全力只能改出 $3$ 题……

欸？意外收获？我的机位居然有一个野生的三月七 $\text{badge}$，是 $\text{QuAn}$ 酱画的那个头像。也不管是哪位学长的遗产，不过现在是我在这个机位，只希望她接下来两个星期能安慰一下我的心灵吧。

$\text{Jul }22\text{nd}$

这回倒是睡好了，但是今天讲数据结构，果不其然中途又打瞌睡了……总共 $17$ 道题，$4$ 题线段树 $+$ $3$ 题笛卡尔树 $+$ $2$ 题字典树 $+$ $8$ 道杂题（甚至其中 $7$ 道都是黑！）笛卡尔树我之前是一点都没接触过的说……听懂一半算我输。还是先来个总结吧：

$1.$ 序列 $[l,r]$ 排序后可以构成公差为 $k$ 的等差数列，当且仅当：

该序列的极差等于 $k(r-l)$，这通过线段树维护区间最值实现查询。

该序列的差分序列最大公因数为 $k$，这通过线段树维护差分序列的区间最大公因数实现查询。

当 $k\neq 0$ 时，该序列的数互不相同，这通过 unordered_map<int, set<int>> 维护每个数上一次出现的位置实现判断，其中 set 是某个值出现位置的集合。

P5278 算术天才⑨与等差数列

$2.$ 一棵包含 $k$ 个点的无标号有根树可以使用一个长度为 $2(k - 1)$ 的括号序列表示。它们本质上等价于欧拉序（进入和退出节点时时间戳都增加）中通过一条边搜索以及回溯的过程，左括号对应深度 $+1$，右括号对应深度 $-1$。根据括号序列计算深度前缀和序列 $\{d_n\}$，那么 $d_i$ 对应就是欧拉序中第 $(i+1)$ 个点的深度（第一个点是根），序列中区间 $[l,r]$ 的最小值就代表欧拉序中第 $(l+1)$ 和第 $(r+1)$ 个点的 $\text{LCA}$ 深度。所以树上两点 $u,v$ 的距离 $\text{dis}(u,v) = \text{dep}_u + \text{dep}_v - 2\text{dep}_{\text{LCA}(u,v)}=d_{l-1}+d_{r-1}-2\min\limits_{i=l-1}^{r-1}d_i$，其中 $l,r$ 分别为 $u,v$ 的欧拉序。CF1149C Tree Generator?

$3.$ 笛卡尔树：一种简化的 $\text{Treap}$。对于序列中的某个节点，其在这个序列的笛卡尔树上的键值（节点编号）等于下标，优先级等于它的数值。笛卡尔树分大根形态和小根形态，对于序列 $\{a_n\}$ ，区间 $[l,r]$ 中的最小值等于小根笛卡尔树上 $\text{LCA}(l,r)$ 的优先级（数值），最大值等于大根笛卡尔树上 $\text{LCA}(l,r)$ 的优先级（数值）。笛卡尔树的建树是 $O(n)$ 的。P5854 笛卡尔树的建树模板

笛卡尔树的应用场景：区间最值（一般用线段树，因为笛卡尔树并不平衡），序列中某个数左/右侧第一个大于/小于它的数等。

这回倒好，就只改出了第一题，交上去的 $\text{AC}$ 代码还被 $\text{Hack}$ 掉了……

晚上又讲了一些线段树理论，发现其实树高那会讲的其实还有些纰漏，于是就把树高那部分删去了，这里再重新总结一下。

$1.$ 半群线段树（不需要懒标记）

可以维护一个序列 $\{a_n\}$，其中 $a_i \in D$,$(D,*)$ 是一个半群。它可以实现：

单点修改：给定 $i,x(1\le i \le n,x \in D)$，$a_i \leftarrow x$。

区间查询：给定 $l,r(1\le l \le r \le n)$，求 $*_{i=l}^r a_i$。

半群要求 $*$ 运算满足结合律。

常见问题：带单点修改的区间求和/求积/求矩阵积/求最大子段和。

$2.$ 环线段树（需要懒标记）

可以维护一个序列 $\{a_n\}$，其中 $a_i \in D$,$(D,*,\otimes)$ 是一个环。它可以实现：

区间修改：给定 $l,r,x(1\le l \le r\le n,x \in D)$，对于所有 $i(l\le i \le r)$，$a_i \leftarrow x * a_i$。

区间查询：区间查询：给定 $l,r(1\le l \le r \le n)$，求 $ \bigotimes\limits_{i=l}^r a_i$。

环要求 $*$ 运算满足结合律，$\otimes$ 运算满足结合律和交换律，且 $*$ 运算对 $\otimes$ 运算满足分配律。

相比于半群线段树，环线段树的一个节点 $i$ 上，除了要维护 $S_i \in D$ 外，还需要维护一个 $T_i \in D$，即所谓的懒标记，其意味着节点的子树仍然有一些修改尚未下传，这些修改等效于左乘。通常而言，我们约定 $S_i$ 表示的是不考虑 $i$ 的祖先上的懒标记的修改时，
区间内的 $a_i$ 之和 $(\otimes)$。修改或查询时，当要递归到 $i$ 的左右儿子时，更新左右儿子 $S,T$ 的值，然后将 $T_i$ 重置为幺元。

$3.$ 标记永久化

在一些特殊的场景中（比如树套树），可能受时间或空间限制，也可能受某些规则的约束，我们无法下传标记，此时需要进行标记永久化，也就是标记不下传。为了做到这点，我们必须保证 $(D,*)$ 不仅仅是一个半群，而且是一个群，即需要有乘法 $(*)$ 单位元和逆元。

假设我们需要给区间 $i$ 整体左乘 $(*)$ 一个值 $x$，它的祖先上有 $T_a,T_b$ 两个懒标记，由于 $S_i$ 表示的是不考虑 $i$ 的祖先上的懒标记的修改时的区间和，其真实值 $S'_i=T_a*T_b*S_i$，修改后就是 $S''_i=x*T_a*T_b*S_i=T_a*T_b*(T^{-1}_a*T^{-1}_b*x*T_a*T_b)*S_i$，所以只需令 $x'=T^{-1}_a*T^{-1}_b*x*T_a*T_b$，即可 $S_i \leftarrow x'*S_i,T_i \leftarrow x'*T_i$。

看着好像是在《你搁这搁这呢？》实际上只是对于区间加来说，乘上逆元直接抵消掉了。但实际上，有些时候乘上逆元并不能直接抵消。

$4.$ 值与标记的分离

其实很多时候，所谓“环线段树”并不能很好地描述我们要做的事情，而是得把维护的值 $S$ 和懒标记 $T$ 认为是不同的“东西”。也就是说，我们有值集合 $V$ 和标记集合 $A$，并且有运算：

$V \leftarrow V * A$ ——给值“加上标记”的结果

$A \leftarrow A * A$ ——标记的复合（满足结合律）

$V \leftarrow V \otimes V$ ——值的“求和”

一个经典例子：$V$ 为 $n$ 维向量集合，$A$ 为 $n\times n$ 的矩阵集合。其实 $n$ 维向量完全可以也看成 $n\times n$ 的矩阵，从而在数学上将值与标记统一，分离仅仅是为了思维的方便。

如果问题的操作都是线性变换，那么可以直接维护 $n$ 维向量，将 $n\times n$ 的转置矩阵作为懒标记。矩阵与其乘法、加法是构成环的，所以可以用环线段树维护。

常见问题：

区间加/区间乘/区间求和：维护二维向量 $\left[ \begin{array}{c} a_i \\ 1 \end{array} \right]$ 的和，每次区间 $+x$ 相当于乘上一个 $2\times 2$ 的矩阵 $\left[ \begin{array}{cc} 1 & x \\ 0 & 1 \end{array} \right]$，区间 $\times x$ 相当于乘上 $\left[ \begin{array}{cc} x & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right]$。

区间加/区间历史版本和：维护三维向量 $\left[ \begin{array}{c} a_i \\ h_i \\ 1 \end{array} \right]$ 的和，区间 $+x$ 相当于乘上 $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$，累加一次版本 $(h_i \leftarrow h_i + a_i)$ 相当于乘上 $\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$。

但是，这些经典问题大多用不上线性代数的做法。因为可以观察到，我们所维护的向量，以及转置矩阵含有大量的 $0$ 和 $1$，这得以让我们把它们优化成单变量懒标记。同时，矩阵变换的时间常数极大，效率会略逊于单变量懒标记。但线性代数的做法可能更好想（只要能看出所有操作都能通过线性变换实现），正确性和时间复杂度是得以保证的，对于非经典问题，尤其是在考场上，如果想到了线代做法，就应该立刻打上。尽管最后可能因为极大的常数而丢掉一两个点，但这总比干瞪眼瞪不出单变量懒标记的优化而爆零好太多了。

$\text{Jul }23\text{rd}$

今天上午是 $\text{NOIP}$ 模拟赛。

$\text{T}1$ 本来只打了个 $40$ 分的暴力，后面发现是很简单的 $\text{DP}$，期望得分 $100\text{pts}$，实际得分：$20\text{pts}$ ——啊？？怎么爆了？？~~还不如打暴力呢~~ 死因：做法假了，不是 $\text{DP}$，实际上还真只需要暴力就可以了，我之前的暴力不对www。

修改后得分：$100\text{pts}$。

$\text{T}2$ 不会写，输出个无解看看能得多少，期望得分 $1\text{pts}$，实际得分：$0\text{pts}$ ——沟槽的捆绑测试

修改后得分：$100\text{pts}$。

$\text{T}3$ 暴搜乱搞，期望得分 $20\text{pts}$，实际得分：$20\text{pts}$。

$\text{T}4$ 暴力乱搞，期望得分 $15\text{pts}$，实际得分：$15\text{pts}$。

期望得分（总）：$136\text{pts}$，实际得分：$55\text{pts}$，$\text{Rank}:69/72$。

修改后得分：$235\text{pts}$。

只能说考的一坨，$\text{Rank}$ 垫底，$\text{T}1$ 和 $\text{T2}$ 本该拿到更高的分数，甚至应该全切，但没有做到。不过 $\text{T3}$ 和 $\text{T4}$ 倒是预期完成了，骗到 $35$ 分已经可以算是收获达标了，在考场上就应该这样。如果 $\text{T}1$ 和 $\text{T2}$ 稳定发挥，那么这个分也算是能完成省一的夙愿了。

$\text{Jul }24\text{th}$

今天讲 $\text{DP}$，全都听不懂！ 直接开摆，写基础的橙黄 $\text{DP}$ 题去了。数据结构讲蓝紫黑题就算了，给我讲 $\text{DP}$ 蓝紫黑题我是真的会死的。

下午勉强把 AGC061C First Come First Serve 大概弄懂了，但仅此而已。

有点新东西：

$1.$ 二项式反演：

\[f(n)=\sum_{i=0}^n \binom n i g(i) \Rightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i} \binom n i f(i) \]
囿于篇幅不作证明。

常见于 $f(n)$ 表示“至多 $k$ 个元素满足条件”的计数，$g(n)$ 表示“恰好 $k$ 个元素满足条件”的计数。大多数情况下，$f(n)$ 是较为好求的，而想直接计数求解 $g(n)$ 比较困难，此时可以考虑用反演来求得。

经典问题：P1595 错位全排列，即求 $n$ 个元素全不放在原位 $(\forall i \in [1,n], a_i \neq i)$ 的排列数。

设 $g(n)$ 表示恰好有 $n$ 个错位的排列数，$f(n)$ 表示至多有 $n$ 个错位的排列数，也就是不带任何限制的排列数，所以 $f(n)=n!$。根据二项式反演，有

\[g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i} \dbinom n i i!=\sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i n!}{i!} \]
这便是经典的错位全排列公式。通过预处理出 $1$ 到 $n$ 的阶乘，这个式子的结果就可以 $O(n)$ 算出，这对于链接里 $1 \le n \le 20$ 的数据范围完全是大炮轰蚊子。如果作为二项式反演的板子，应该带上大数取模和线性递推乘法逆元开到 $1\le n \le 10^8$ 量级。

二项式反演还有另一种形式：

\[f(k)=\sum_{i=k}^n \binom i k g(i) \Rightarrow g(k)=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k} \binom i k f(i) \]
常见于 $f(k)$ 表示“至少 $k$ 个元素满足条件”的计数，$g(k)$ 表示“恰好 $k$ 个元素满足条件”的计数。

P4859 已经没有什么好害怕的了先 $\text{DP}$ 出“至少”的情况，然后用反演求出“恰好”的情况。

$2.$ $K$-$\text{D}$ 树：是一棵可以存储 $K$ 维空间中的点信息，支持插入、删除和高维空间中对数级时间复杂度搜索的平衡二叉树，树上每个节点对应 $K$ 维空间中的一个点。当 $K=2$ 时，能够实现将二维平面转换成二叉树，快速查询平面最近点对 (P1429)。建 $K$-$\text{D}$ 树通常用维度轮换法或最大方差法，囿于篇幅不作展开。

今天真的是倒霉完了，其实一开始说好每天 $2$ 小时放风玩玻璃砖的，$\text{Jul 20th}$ 晚上又说只有周末才能玩，给我闷了三天。好不容易今天晚上 $20$ 分钟放风，本想着把 $\text{Codeforces}$ 账号弄好，结果网站刚好被 $\text{Bad Gateway}$ 在外面进不去，真的是麻了。

$\text{Jul 25th}$

~~宿舍楼一大早上起来就放大石碎胸口，鉴证英雄这一块。~~

今天讲 $\text{DP}$ 优化，继续开摆，写黄绿 $\text{DP}$ 题。

下午有点受不了了，奖励了自己两三道线段树问题的板子。

什么？体锻时间比 $400 \text{m}$？第一名送机械键盘？$\text{byd}$ 那么热的天谁爱跑谁跑去吧，反正我直接一个弃权。什么？推迟啦？好似喵~

晚上 $\text{Codeforces}$ 能进了，还好之前放风的时候登上了 $\text{QQ}$ 这下就有邮箱了，但现在虽然注册好了，洛谷这边反倒还绑不上（绷）。

$\text{Jul 26th}$

~~宿舍楼一大早上起来又放了一遍大石碎胸口，真的是吉列的豆蒸。~~

今天上午是第二场模拟赛。

$\text{T1}$：暴力乱搞，期望得分：$10$ ~ $35 \text{pts}$，实际得分：$\text{0pts}$。怎么一分没骗到？？ 死因：题意根本没懂。实际上，这就是个黄题。

修改后得分：$\text{100pts}$。

$\text{T2}$：暴力 $\text{DP}$，期望得分：$\text{30pts}$，实际得分：$\text{30pts}$。

$\text{T3}$：暴力乱搞，期望得分：$\text{25pts}$，实际得分：$\text{25pts}$。

$\text{T4}$：摆了。期望得分：$\text{0pts}$，实际得分：$\text{0pts}$。

期望得分：$\text{}$ $\text{65}$ ~ $\text{90pts}$，实际得分：$\text{55pts}$，$\text{Rank}:36/42$。

修改后得分：$\text{155pts}$。

考的和上一场一样差（甚至分数都一模一样），除了第一题外其他题目一共骗到了 $\text{55pts}$，和上一场问题一样，有难度的题目能骗到分，但简单题切不掉，考虑日后方向转向黄绿基础题，并且多打一点基础赛。

要是再这么下去我真的想 $\text{AFO}$ 了，闹麻了都，花这么多精力有个几把用啊？还不如好好搞 $\text{whk}$……

下午讲博弈论。暑假真的是各种不方便，下午因为停电还得换机房……两个机房的人凑在一个机房里面，空调还不给力，热死了。这下子变成群魔乱舞了，一排过去同时坐了：图寻大蛇（平均 $5$ 秒一道题，正确率高达 $90\%$），魔方大蛇（粗略估计有 $\text{sub15}$ 的水平），文言文大蛇（拿文言文资料出来看结果被教练抓包），洛谷领域大蛇（主页及其花里胡哨），异史氏曰：梅逸阁诗人。

$\Huge广州蚊子真的好多啊！$

我怀疑我的花露水被掉包成了蚊子信息素一类的东西。

考虑到今天模拟赛的总结，晚上 $8$ 点打一场 $\text{ABC416}$，看看自己什么货色。

评价为：小学生都不如。$\text{ABC}$ 级别的比赛，场上只写出来 $\text{A}$ 和 $\text{C}$，$\text{Rank}\ge7000$，太丢人了，可以期待今年炸成什么样了。